1.1 DEFINISI VARIABEL DAN FUNGSI
Jika z menyatakan sembarang anggota dari suatu himpunan bilangan-bilangan kompleks, maka z disebut suatu “variabel kompleks”.
Suatu aturan f dari himpunan z ke himpunan w yang memasangkan setiap anggota z ke satu anggota w disebut “fungsi”, (lebih tepatnya – fungsi bernilai tunggal). z disebut sebagai “domain” (daerah asal) dan w disebut sebagai “kodomain” (daerah hasil).
| ||||||||
|
|
Jika z dipasangkan lebih dari satu w, maka w = f(z) disebut “fungsi bernilai banyak” . Fungsi ini dipandang sebagai suatu koleksi dari fungsi-fungsi bernilai tunggal. Setiap anggota dari fungsi ini disebut suatu “cabang” dari fungsi. Dimana cabang tersebut ada satu cabang yang dianggap sebagai anggota utama dan disebut “cabang utama” dari fungsi bernilai banyak. Nilai dari fungsi yang dikaitkan dengan cabang utama disebut “nilai utama”.
Contoh 1.1 :
- Jika w = z2, maka untuk setiap z ada tepat satu nilai w = z2, sehingga w = f(z) = z2 adalah fungsi bernilai tunggal.
- Jika w = z1/2, maka untuk setiap z ada dua nilai w, sehingga fungsi w = f(z) = z1/2 disebut fungsi bernilai ganda (dua).
Jika tanpa informasi lebih lanjut, maka apabila dikatakan w fungsi dari z, yang dimaksud adalah fungsi bernilai tunggal.
Jika w = f(z) maka dapat juga dipandang z sebagai fungsi dari w, ditulis z = g(w) = f-1(w). Fungsi f-1 biasa disebut “fungsi invers” dari f.
1.2 TRANSFORMASI
Jika w = u + iv (dimana u dan v real) adalah fungsi bernilai tunggal dari z = x + iy (dimana x dan y real), maka w = u + iv = f(x + iy). Dengan memisahkan bagian real dan imajiner dari f(x + iy) kita dapat menuliskan
W = u + iv = u(x,y) + iv(x,y)
atau
u = u(x,y) dan v = v(x,y) (1.1)
Jadi jika diberikan satu titik P(x,y) dibidang kompleks z, maka ada titik P’(u,v) pada bidang w.
Bidang z |
Bidang w |
Persamaan (1.1) atau w = f(z) disebut suatu “transformasi”. Dikatakan (dari gambar diatas) bahwa titik P dipetakan atau ditansformasikan pada titik P’, dan P’ disebut “image” dari P.
Contoh 1.2 :
Buat sketsa dari w = z2 untuk:
- z = 2 + i
- Himpinan titik-titik pada kuadran I
Jawab:
a. w = (x + iy)2 = (x2 + y2) + i2xy = 3 + 4i ; jika z = 2 + i → w = 3 + 4i.
Bidang z |
Bidang w |
b. z = r eiθ ; w = z2 = ( r eiθ )2 = r2 ei2θ
Bidang z |
Bidang w |
1.3 KOORDINAT KURVILINIER
Diberikan suatu transformasi w = f(z) atau ekivalen dengan u = u(x,y) dan v = v(x,y), dikatakan bahwa (x,y) adalah koordinat tegak lurus dari P pada bidang z dan (u,v) sebagai koordinat “kurvilinier” dari P. Kurva-kurva u(x,y) = c1 dan v(x,y) = c2 dimana c1 dan c2 adalah konstanta serta setiap pasang dari kurva-kurva ini berpotongan disatu titik. Kurva-kurva ini dipetakan pada bidang w menjadi garis-garis yang saling tegak lurus.
Bidang z |
Bidang w |
1.4 TITIK CABANG DAN GARIS CABANG
Misalkan diberikan fungsi w = z1/2, selanjutnya z digerakkan mulai dari titik A berlawanan dengan arah jarum jam mengelilingi titik 0 pada bidang kompleks z. Karena z = r eiθ maka w = r1/2 eiθ/2, dan andaikan di A θ = θ1, maka
w = ( r )1/2 = r1/2
Bidang z | Setelah satu kali putaran θ=θ1+2π yang nilainya tidak sama dengan w diper-mulaan tadi. Dengan dua kali putaran penuh θ = θ1+4π |
yang nilainya sama seperti permulaan. Karena itu, tampak bahwa jika 0≤θ<2π kita berada pada satu cabang dari fungsi bernilai banyak z1/2, sedangkan jika 2π ≤θ<4π kita berada pada cabang lainnya dari fungsi itu. Jelas bahwa setiap cabang dari fungsi tersebut adalah bernilai tunggal. Agar fungsi tetap bernilai tunggal maka kita buat garis perintang dengan B di tak hingga, yang dipotong oleh suatu cabang dari fungsi. Garis ini disebut “garis cabang”, dan titik 0 disebut “titik cabang”. Perhatikan bahwa sirkuit yang mengelilingi titik yang bukan z=0 tidak memberikan nilai yang berubah.
1.5 LIMIT FUNGSI
Diketahui w = f(z), zo Є z dan L Є w
Bidang z |
Bidang w |
Jika z mendekati zo dengan lintasan l1, maka f(z) mendekati L dengan lintasan l2, karena itu dapat dituliskan
(1.2)
Definisi: , artinya untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0, sehingga
untuk (1.3)
Contoh 1.3 :
1. Buktikan
Jawab:
sehingga , karena itu “dipenuhi”.
2. Tentukan
Jawab:
Jika z menuju zo bersifat bebas, artinya dengan sembarang lintasan z menuju zo akan diperoleh limit f(z) menuju L.
Contoh 1.4 :
Selidiki
|
- Untuk z → 0 dengan lintasan y = x - Untuk z → 0 dengan lintasan y = 2x |
Bidang z |
Karena lintasan tidak sama maka limitnya tidak ada, atau
tidak ada.
|
Bidang z | Jika f(x) adalah fungsi bernilai tunggal pada daerah D di bidang kompleks z dan ditulis w = f(x) maka w + ∆w = f(z + ∆z). Sekarang, w + ∆w = f(z + ∆z)
∆w = f(z + ∆z) - f(z) |
Jika kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan ∆z, maka
dan jika Q → P, maka ∆z → 0, sehingga
Jadi turunan dari f(z) adalah
(1.4)
Teorema :
Jika diketahui f(z) = u(x,y) + iv(x,y) memenuhi syarat:
a. u, v, , , , kontinu, dan
b. memenuhi/ berlaku persamaan Cauchy-Riemann, yaitu
= dan = - (1.5)
maka f’(z) ada, dan
(1.6)
Catatan : Syarat f(z) kontinu di z = zo ;
1. f(zo) ada
2. ada
3.
Pembuktian persamaan (1.6)
Diferensial total dari u dan v adalah:
dan
Gunakan pendekatan:
, karena itu
Karena z = x + iy, maka ∆z = ∆x + i∆y, sehingga
Karena ε1, ε2, δ1 dan δ2 sangat kecil, maka untuk ∆z → 0, ε1, ε2, δ1 dan δ2 sama dengan nol. Karena itu
atau
(terbukti)
Dari persamaan (1.5) diperoleh
(terbukti)
Kesimpulan:
Jika w = f(z) kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann, maka f(z) diferensiabel [f’(z) ada], tetapi kebalikannya tidak berlaku (kecuali kontinu).
Contoh 1.5 :
Tentukan titik-titik dimana w = z2 diferensiabel.
Jawab:
- Buktikan bahwa u, v, , , , kontinu
|
|
v = 2xy
-
|
|
Jadi w = z2 diferensial pada semua titik turunannya, sehingga dari persamaan (1.6) diperoleh
1.7 FUNGSI ANALITIK
Bidang z | Jika f(z) terdefinisikan pada daerah D dan zo Є D maka f(z) dikatakan analitik pada zo. Jika f(z) mempunyai turunan di zo dan daerah disekitar zo, maka │z - zo│< δ |
Contoh 1.6 :
- Selidiki fungsi f(z) = │z│2.
Jawab:
|
|
v = 0
hanya jika x = 0
hanya jika y = 0
Fungsi f(z) = │z│2 dapat diturunkan dititik z = 0 (diferensiabel dititik z = 0), akan tetapi karena disekitar z = 0 fungsi tak dapat diturunkan, maka fungsi “tidak analitik”.
- Selidiki f(z) = 1/z
Jawab:
;
Fungsi tersebut kontinu kecuali di (x = 0, y = 0), (x = ±1, y = ±i) dan kelipatan-nya, atau (x = ±n, y = ±ni); n = 0, 1, 2, ... . Karena itu fungsi tersebut tidak analitik di (x = 0, y = 0) dan (y = x, y = -x).
Bidang z |
1.8 FUNGSI HARMONIS
Jika f(z) = u + iv analitik pada domain tertentu, maka dipenuhi persamaan Cauchy –Riemann. Jika turunan parsial kedua terhadap x dan y dari u(x,y) dan v(x,y) ada kontinu di daerah D, maka diperoleh:
;
(turunan terhadap y pada persamaan pertama persamaan (1.5) dan turunan terhadap x pada persamaan kedua persamaan (1.5)).
Sehingga dari dua persamaan di atas diperoleh “Persamaan Diferensial Laplace”
(1.7a)
Atau, dengan cara yang sama, diperoleh :
(1.7b)
Jadi setiap fungsi yang analitik disebut “fungsi harmanis”.
Jika f(z) = u + iv harmonis, maka masing-masing u dan v juga harmonis, dan disebut “harmonis sekawan”, sehingga bila u diketahui maka v dapat dicari dan sebaliknya.
Contoh 1.7 :
Diberikan u = x2 – y2 + x - y
a. Buktikan bahwa u adalah fungsi harmonis.
b. Carilah fungsi harmonis sekawannya.
c. Tentukan f(z) sehingga f(z) analitik.
Jawab:
|
|
|
;
b. Þ Þ
Þ Þ Þ
Jadi
c.
1.9 INTEGRAL KOMPLEKS
Suatu kurva C yang dinyatakan dengan persamaan parameter x = g(t) dan y = h(t) dengan a ≤ t ≤ b, g(t) dan h(t) kontinu, disebut jejak/lintasan. Jika jejak/lintasan berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut “jejak/lintasan tertutup”.
Bidang z |
Jejak tertutup sederhana |
Jejak tertutup tidak sederhana |
1.9.1 Integral Garis
Jika z = x + iy , c : x = g(t) , y = h(t) dengan a ≤ t ≤ b dan f(z) = u + iv, maka
(1.8)
Contoh 1.8 :
|
| Jawab : Tinjau jejak C1 y = ½ x → x = 2y z2 = (x + iy)2 = (x2 – y2) + i2xy |
Sekarang tinjau jejak C2 dilanjutkan ke C3
C2 : y = 0 → dy = 0 , dx ≠ 0
C3 : x = 2 → dx = 0 , dy ≠ 0
Karena itu,
Terlihat bahwa I1 = I2 , ini hanya berlaku jika fungsi yang diintegralkan analitik pada jejak.
1.9.2 Teorema Green; Teorema Cauchy-Goursat
A. Teorema Green
Jika dua fungsi P(x,y) dan Q(x,y) serta turunan parsial tingkat satu-nya kontinu di dalam R (daerah di dalam dan pada kontur C), maka berlaku
(1.9)
B. Teorema Cauchy-Goursat
Jika f(z) analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka untuk setiap kontur C yang tertutup di dalam D berlaku
Contoh 1.9 :
a. Domain terhubung sederhana |
b. Domain terhubung ganda |
Karena f(z) = u + iv dan dz = dx + i dy , maka
dan berlaku teorema Green :
I.
Karena f(z) analitik, maka berlaku persamaan Cauchy-Riemann, sehingga
Dengan cara yang sama
II. ; Jadi
C. Akibat dari Teorema Cauchy-Goursat :
1. Jika f(z) analitik pada domain tertutup sederhana D, maka
, tidak bergantung jejak.
Bidang z | Misal, C adalah kurva tertutup sederhana yang dapat dipecah menjadi dua bagian (C1 dan C2), C = C1 + C2, maka menurut teorema Cauchy-Goursat |
Jadi
2. Pada domain ganda dua.
Jika f(z) analitik pada kurva C1 dan C2, maka
Bidang z |
Bidang z |
Karena L1 = L2 , maka
Sehingga
atau
|
3. Pada domain ganda tiga
Bidang z | |
Karena
maka
Sehingga
Kesimpulan :
Untuk domain ganda n
Bidang z |
(1.12)
Contoh 1.10 :
- Selidiki dengan
- C : │z│ ≤ 1
- C : │z│ ≤ 4
Jawab :
analitik pada semua titik kecuali pada titik z = 3
Bidang z | Untuk karena titik z = 3 ada di luar |
| Untuk z = 3 ada di dalam , maka |
- Selidiki dengan dan (daerah diantaranya)
Bidang z | tidak analitik pada z = 0 dan z = ±3i. Karena titik-titik tersebut (0 dan 3i) di luar daerah analitik, maka |
1.9.3 Integral Cauchy
Jika D domain tertutup sederhana dan zo adalah titik di dalam D, f(z) analitik di dalam D, maka analitik di dalam D kecuali di z = zo, sehingga
(1.11)
Karena itu D bersama zo membentuk domain ganda dua.
Bidang z | Akibat teorema Cauchy-Goursat Dari dapat dituliskan z = zo + ε eiθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π dan dz = i ε eiθ dθ. |
Karena itu
Jadi
Sehingga
(1.13)
Persamaan (1.13) adalah integral Cauchy.
Contoh 1.11 :
- Jika C : -2 ≤ x ≤ 2 ; -2 ≤ y ≤ 2
Tentukan :
a.
b.
Jawab :
a. f(z) = z , Sehingga |
Bidang z | |||||||
b. ; ; Sehingga | |
- Jika , Tentukan
Jawab : Perhatikan denumerator (pembagi) : (9 – z2) (z + i) = (3 – z) (3 + z) (z + i) = 0, Sehingga z = ±3 ; z = -i. Karena yang ada pada C :│z│≤ 2 adalah z = -i maka z = ±3 tidak diperhitungkan. Karena itu integral diatas bisa dituliskan dalam bentuk , jadi , ; Sehingga | Bidang z |
- Tentukan integral pada soal No.2 jika
Jawab :
Karena z = ±3 dan z = -i ada di dalam daerah ini, maka semua nilai ini diperhitungkan, yaitu zo = -3 untuk C1 , zo = 3 untuk C2 dan zo = -i untuk C3. Sehingga
Selesaikan ...!
1.9.4 Integral Cauchy Untuk Titik Analitik Ganda
Pada sub bab terdahulu telah dibatasi integral Cauchy dimana zo bernilai tunggal atau zo lebih dari satu dan semuanya berbeda. Sekarang bagaimana jika ada lebih dari satu zo yang nilainya sama maka integral Cauchynya adalah “Integral Cauchy untuk Titik Analitik Ganda n”.
Dari integral Cauchy dapat diturunkan untuk titik analitik ganda,
Sehingga
Karena itu
Secara umum untuk titik analitik ganda n
(1.14)
Contoh 1.12 :
1. dengan
2. dengan
Jawab :
1. , karena itu
(z2 + 4)2 = 0 Þ (z – 2i)2 (z + 2i)2 = 0
Karena zo = ±2i (kembar dua)
Bidang z | Karena zo = 2i tidak analitik dan ada di dalam daerah , maka |
Sehingga Þ , karena itu
Sehingga
2. , karena itu x2 + y2 = 2 (z – 1)(z + 1)2 = (z – 1)((z + 1)(z + 1) = 0 (tunggal) (kembar) |
Bidang z |
Akibat teorema Cauchy-Goursat
q Untuk C1 :
dengan zo = -1
Þ
q Untuk C2 :
dengan zo = 1
Sehingga :
1.10 DERET LAURENT
Jika f(z) analitik pada dua lingkaran C1 dan C2 dengan pusat zo dan jejari r1 dan r2 maka f(z) dapat diekspansikan menjadi
(1.15)
Suku pertama ruas kanan adalah bagian analitik sedangkan suku keduanya adalah bagian pokok. Jika bagian pokok tidak ada maka f(z) merupakan “deret Taylor”.
Contoh 1.13 :
- Ekspansikan :
a.
b. pada domain , dan
Jawab :
a. Menurut deret Taylor (deret eksponensial pangkat z)
Jadi
|
|
b. Gunakan ekspansi fraksi parsial untuk menguraikan f(z).
uraian ruas kiri
Karena itu A + B = 0 Þ A = -B dan 2A + B = 1
Sehingga -2A + B = 1 Þ B = -1 dan A = 1
Karena itu
q Ekspansi f(z) pada domain .
konvergen, deret harus memuat suku-suku dalam z :
q
Jadi .
q Ekspansi f(z) pada domain .
Karena itu :
untuk harus memuat suku-suku dalam (karena )
untuk harus memuat suku-suku dalam
Sehingga
q Ekspansi f(z) pada domain . [coba sendiri...!]
Jawab :
- Ekspansikan pada domain .
Jawab :
Dengan metoda ekspansi fraksi parsial diperoleh :
q Untuk harus memuat suku-suku dalam
q Untuk harus memuat suku-suku dalam
Sehingga
1.11 TITIK KUTUB DAN RESIDU
1.11.1 Titik Kutub
Jika f(z) analitik pada domain D kecuali di z = zo maka zo disebut “titik kutub”.
Contoh 1.14 :
Selidiki
Jawab :
Titik kutub (z + i)2 (z+3)3 = 0 adalah z = -i (orde 2) dan z = -3 (orde 3)
Banyak titik kutub yang sama (kembar) menentukan orde-nya.
1.11.2 Residu Suatu Fungsi
Jika f(z) analitik di D kecuali di z = zo dan lingkaran mengelilingi zo maka didefinisikan :
Residu f(z) sebagai
Dan ditulis
(1.16)
Untuk menghitung residu digunakan
(1.17)
dengan zo adalah titik kutub berorde-n.
Contoh 1.15 :
Dapatkan residu dari
Jawab :
1. Titik kutub (z – i)(z + 3)2 = 0 ; z = i (orde 1) dan z = -3 (orde 2).
q
q
2. Titik-titik kutubnya :
(z2 + a2)2 = 0 Þ [z2 + (ai)2]2 = (z – ai)2 (z + ai)2 = 0
sehingga
z = ± ai (orde 2)
Lanjutkan ... !!!
Jika f(z) mempunyai titik-titik kutub yang banyaknya berhingga yaitu zo, z1, z2, ..., zn , maka :
Sehingga dari hubungan (1.16) diperoleh :
(1.18)
1.12 INTEGRAL BENTUK-BENTUK TERTENTU
1.12.1 Integral Berbentuk
;
Uraian :
; ;
(ada di dalam lingkaran berjejari 1)
Karena itu integral di atas dapat diubah menjadi
(1.19)
Contoh 1.16 :
Hitung
Jawab :
Titik-titik kutub : z2 + 3z + 1 = 0 Þ
Karena di luar lingkaran dengan maka hanya dihitung yang ada di dalam . Karena itu
Sehingga .
1.12.2 Integral Berbentuk
: x adalah variabel real. (1.20)
Syarat dari integral ini adalah :
a. f(x) fungsi rasional dengan pangkat dari penyebut / pembagi sedikitnya dua lebih tinggi dari pada pangkat pembilang / yang dibagi (Konvergen).
b. Tidak mempunyai titik kutub yang terletak pada sumbu real.
c. Kontur C berupa setengah lingkaran di atas sumbu real dengan R(jejari) = ∞.
Contoh 1.17 :
Dapatkan
Jawab :
Ubah integral di atas dalam bentuk kompleks dengan titik-titik kutub
|
Sehingga
; Jadi
1.12.3 Integral Berbentuk
dan
Syarat integral ini adalah :
a. , sehingga
dan
.
b. f(z) fungsi rasional.
c. Kontur C diambil setengah lingkaran di atas sumbu real.
d. Tidak mempunyai titik kutub yang terletak pada sumbu real.
Contoh 1.18 :
Dapatkan
Jawab :
Harus dihitung
Titik-titik kutub
Sehingga
Jadi ;
Sangat tertarik baca artikel di atas,
BalasHapusbtw bisa minta softcopinya di kirim ke e-mail ku: rinaldisirumapea17@gmail.com
aku jg mw minta softcopinya artikel ttg "Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa (Dilengkapi contoh soal)"nya.
Terima kasih...